Outer Limits of Reason

The Outer Limits of Reason – What Science, Mathematics, and Logic Cannot Tell Us

Noson S. Yanofsky

The MIT Press 2013

ISBN: ISBN 978-0-262-01935-4

Pähkinänkuoressa: Mitä tiede, matematiikka ja järki eivät voi selittää; mitä ei voi tietää tai saada selville

Jotta järjen rajoja voi tutkia, täytyy ensin määritellä, mitä järjellä tarkoitetaan. Kielitoimiston sanakirjan mukaan järki tarkoittaa seuraavia asioita:

1. ihmisen kyky (vaativiin, pitkäjännitteisiin) älyllisiin toimintoihin, ajattelu-, käsityskyky
2. terve mieli, harkintakyky
3. järkevä ajattelu, järjellisyys, järkevyys, tervejärkisyys, mieli, tolkku

Mitä on käsityskyky, harkintakyky tai järkevyys? Vaikuttaa kehäpäättelyltä. Jokaisella kuitenkin lienee intuitiivinen käsitys järjestä ja siihen Yanofskykin luottaa, koska hän paljastaa määritelmänsä vasta kirjan lopussa. Ehkä on kuitenkin hyödyllistä paljastaa se heti alkuun:

Järki tarkoittaa ajattelun prosesseja ja menetelmiä, jotka eivät johda ristiriitaan tai epätotuuteen.

Aina kun päädymme ristiriitaan tai epätotuuteen, tiedämme astuneemme järjen ja rationaalisuuden ulkopuolelle. Vaikka emme voikaan asettaa tarkkoja sääntöjä sille, mikä on järjen rajoissa, tiedämme ainakin, jos jokin prosessissa on mennyt pieleen. Tämä saattaa vaikuttaa oudolta määritelmältä, mutta se kelpaa tarkoitukseen, johon seuraavaksi sukellamme.

KIELI

Kieliparadoksi on lause, joka on ristiriidassa itsensä kanssa. Meidän ei ole vaikea ymmärtää sellaisia fraaseja kuin ”alkuperäinen kopio”, ”julkinen salaisuus” tai ”selvästi ymmällään”, vaikka ne ovat loogisesti mahdottomia. Kieli ja aivot eivät selvästikään ole pelkästään loogisia instrumentteja. Meille jopa tuottaa mielihyvää oivaltaa esiintuotu ristiriita. Tutkitaanpa asiaa hieman tarkemmin. Klassinen esimerkki kieliparadoksista on valehtelijan paradoksi:

”Tämä lause on valhe.”

Onko se totta vai ei? Jos se olisi tosi, niin sen täytyisi olla epätosi. Jos se taas olisi epätosi, niin sen täytyisi olla tosi. Ajaudumme ristiriitaan. Meillä ei ole keinoa selvittää lauseen totuusarvoa. Tämä saattaa vaikuttaa turhalta kielelliseltä kikkailulta, mutta paljastaa yleisemmän ilmiön. Ongelma syntyy siitä, että lause viittaa itseensä. Kyse ei ole pelkästään kielestä. Palaamme itseviittauksiin jatkossa useampaankin kertaan. Niissä on jotain, joka helposti johtaa ristiriitaan. Niiden kanssa on syytä olla tarkkana.

Brittiläinen filosofi Bertrand Russell (1872-1970) esitti ns. parturin paradoksin. Kuvitellaan pieni alppikylä, jossa on vain yksi parturi. Kylässä toimii sääntö: jokainen joka ei aja itse partaansa käy parturissa ja kukaan joka ajaa itse partansa ei käy parturissa. Kuka siis ajaa parturin parran? Sääntö vaikuttaa järkevältä ja mahdolliselta, mutta johtaa ristiriitaan. Jos parturi ajaa oman partansa, hän rikkoo sääntöä; jos hän ei aja partaansa, hän rikkoo sääntöä. Kylää, jossa on tuollainen sääntö, ei siis voi olla olemassa.

Parturin paradoksi paljastaa jälleen yleisemmän ongelman, Russellin paradoksin, joka ei liity pelkästään kieleen. Kuvitellaan erilaisia joukkoja, jotka voivat sisältää alkioita ja toisia joukkoja. Russell pyytää nyt ajattelemaan tiettyä joukkoa R:

”R koostuu kaikista joukoista, jotka eivät sisällä itseään.”

Sisältääkö R itsensä? Tässä on sama ristiriita kuin parturin paradoksissa. Jälleen joukon määritelmä vaikuttaa viattomalta, mutta johtaa mahdottomuuteen. Tavanomaisin ”ratkaisu” on kieltää joukon olemassaolo. Se voidaan määritellä laittomaksi joukko-opin säännöissä, jolloin ongelmasta päästään eroon.

FILOSOFIA

Muinaisessa Kreikassa oli kuningas Theseus, joka legendan mukaan perusti Ateenan. Koska Theseus oli merisotien sankari, hänen laivaansa säilytettiin satamassa muistomerkkinä. Se pysyi siellä vuosisatoja. Lankut alkoivat tietenkin lahota ja niitä täytyi korvata uusilla samanlaisilla. Kysymys kuuluu: onko kyseessä edelleen Theseuksen laiva? Kyseessä on identiteettiongelma. Missä vaiheessa kappale vaihtuu toiseksi?

Yleinen vastaus on, että laiva säilyy samana, jos muutos on vaiheittainen. Ei tosin ole aivan selvää, miksi vähittäin tapahtuva muutos säilyttää kappaleen identiteetin, mutta samat muutokset kerralla tehtynä eivät. Pitääkö asettaa kriteeri muutosnopeudelle? Vitsissä isoisän kirveestä on Theseuksen laivan pulma viety äärimmilleen: ”Tämä on isoisäni kirves: isäni asensi siihen uuden varren, ja minä olen asentanut siihen uuden terän.”

Sama kysymys voidaan esittää henkilökohtaisesta identiteetistä. Vanhat solut kuolevat ja uusia syntyy. Suurin osa soluistamme on korvautunut muutamassa vuodessa. Pitäisikö murhamies vapauttaa vankilasta vaikkapa seitsemän vuoden päästä sillä perusteella, että hän ei ole enää sama ihminen, joka teki rikoksen? Tähän voi vastata, että kyse ei ole soluista vaan mielestä tai psyykestä. Yleensähän kuolleen henkilön identiteetin katsotaan muuttuneen peruuttamattomasti, vaikka henkilö aineellisesti on vielä sama kuin hetki ennen kuolemaansa. Toisaalta myös psyyke voi muuttua monissa sairauksissa, kuten muistinmenetys, Alzheimerin tauti, erilaiset persoonallisuushäiriöt ja monet muut. Eikö äitini enää ollutkaan äitini sen jälkeen, kun hän oli sairastunut dementiaan?

All are lunatics, but he who can analyze his delusion is called a philosopher.

Ambrose Bierce

Uskovaiset liittävät henkilökohtaisen identiteetin sieluun. Vaikka ruumis ja mieli muuttuvat, sielu säilyy. Kun sielu poistuu ruumiista, ihminen kuolee. Sielusta ei kuitenkaan ole havaintoja, joten se on joka tapauksessa tieteellisen tiedon ja järjen ulottumattomissa.

Vaikuttaa siltä, että identiteettiongelmaan ei ole selkeää vastausta. Ongelma palautuu kieleen. Aivojemme toiminta perustuu asioiden luokitteluun.  Asioiden nimeäminen taas täytyy oppia. Joillakin asioilla, kuten vaikkapa luvuilla, on tarkka määritelmä. Monilla muilla taas ei ole yksiselitteisiä määritelmiä. Ei edes laivoilla tai muilla fyysisillä kappaleilla.

Zenon Elealainen (n oin 490–430 eaa.) oli kreikkalaisen filosofin Parmenideen perustaman koulukunnan jäsen. Sen oppiin kuului uskomus, että todellisuus on yksi, jakamaton ja liikkumaton. Tunnollisena oppilaana Zenon halusi puolustaa oppi-isäänsä kritiikkiä vastaan. Hän kehitti useita ajatuskokeita, paradokseja, joilla hän pyrki todistamaan asian. Valitettavasti hänen alkuperäiset tekstinsä ovat kadonneet ja tietomme niistä perustuvat sellaisten henkilöiden kirjoituksiin, jotka pyrkivät kumoamaan hänen todistuksensa. Emme siis voi varmuudella päätellä Zenonin tarkoitusperiä.

Ensimmäinen Zenonin ajatuskokeista on dikotomia-paradoksi. Kuvitellaan unikeko, joka herää tapansa mukaan liian myöhään. Hän nousee kiireesti sängystä ja lähtee kävelemään makuuhuoneen ovelle. Hän ei kuitenkaan voi koskaan päästä sinne, koska ensin hänen pitäisi kävellä matkan puoliväliin. Ennen puoliväliä hänen pitäisi tietenkin päästä neljänneksen verran, ja sitä ennen kahdeksasosan, ja niin edelleen ikuisesti. Unikeko ei pääse kunnolla edes liikkeelle, sillä hänen pitää tehdä ääretön määrä tekoja, joita ei voi tietenkään suorittaa äärellisessä ajassa. Parempi jatkaa unia.

Toinen ajatuskokeista on Akhilleus-paradoksi. Sen mukaan kreikkalainen miehuuden perikuva, Akhilleus, ei koskaan saa kiinni kilpikonnaa, jolle on annettu etumatkaa. Akhilleuksen on ensin juostava siihen, mistä kilpikonna lähti. Siinä vaiheessa kilpikonna on edennyt jonkin matkan päähän. Kun Akhilleus pääsee sinne, kilpikonna on taas kulkenut hieman eteenpäin. Tämä jatkuu loputtomiin eikä Akhilleus siis koskaan saavuta kilpikonnaa.

Kolmas ajatuskoe on nuoli-paradoksi. Kuvitellaan lentävä nuoli. Jos nyt valitaan mikä tahansa ajanhetki ja tarkastellaan nuolta, huomataan että itse asiassa nuoli ei koskaan liiku, kun siitä tehdään havainto. Jos nuoli on liikkumaton jokaisella ajanhetkellä, sen täytyy olla liikkumaton koko lennon ajan.

Paradoksit voi kumota eri tavoilla. Yanofsky vetoaa siihen, että avaruus on diskreetti. Zenon on tehnyt ääneen lausumattoman taustaoletuksen jatkuvasta avaruudesta. On kuitenkin otettava huomioon Planckin pituus (1.6162×10⁻³⁵ m), jota lyhyempää etäisyyttä ei voi mitata. Zenon ei siis pysty pilkkomaan etäisyyttä loputtoman pieniin palasiin, vaan jossain vaiheessa unikeko pääsee liikkeelle ja Akhilleus saavuttaa kilpikonnan. Nuolikin liikkuu Planckin pituuden kerrallaan ja samalla aika hypähtää hieman eteenpäin.

Aikaan, avaruuteen ja logiikkaan liittyy vielä aikamatkustus-paradoksi. Jos aikamatkustus olisi mahdollista, niin matkaaja voisi ampua isoisänsä ja estää siten oman syntymänsä ja olemassaolonsa. Miten olematon voisi tappaa ketään? Selvästi törmäämme ristiriitaan. Jälleen kyse on itseviittauksesta. Albert Einsteinin (1879–1955) suhteellisuusteoriaa tulkitaan yleensä niin, että aikamatkustus on mahdotonta. Kuitenkin Einsteinin ystävä Kurt Gödel (1906-1978) kirjoitti vuonna 1949 artikkelin, jossa hän esitti matemaattisen tulkinnan, joka mahdollistaisi aikamatkailun. Tässä Gödelin universumissa olisi vaikeaa, mutta ei mahdotonta matkata ajassa taaksepäin. Kun häneltä kysyttiin asiasta, hän vastasi: ”Aikamatkailu on mahdollista, mutta kukaan ei koskaan pysty tappamaan nuorempaa itseään. A priori (edeltävään puuttuva) on kokonaan kielletty. Logiikka on hyvin voimallista.”.

Milloin mies on menettänyt niin paljon hiuksia, että häntä voi pitää kaljuna? Kuinka pitkä on pitkä nainen? Onko takin väri ruskea vai beige? Kaikki nämä kysymykset koskevat käsitteitä, jotka ovat jollain tavalla epätarkkoja. Filosofisesti kyseessä voi olla ontologinen tai epistemologinen epätarkkuus. Edellisen mukaan tarkkaa määritelmää vaikkapa kaljuudelle ei yksinkertaisesti ole. Jälkimmäisen mukaan määritelmä kyllä on, mutta me emme vain tiedä sitä.

Jos miehen päälaella ei ole lainkaan hiuksia, hän on epäilemättä kalju. Entä, jos lisätään yksi hius? Se tuskin muuttaa asiaa. Kalju pysyy kaljuna, vaikka yksi hius lisätäänkin. Entä jos jatketaan hiusten lisäämistä yksi kerrallaan? Jossain vaiheessa miehellä alkaa olla niin paljon tukkaa, ettei hän enää ole kalju. Kuitenkin on mahdotonta sanoa tarkalleen missä kohtaa tämä tapahtuu. Kyseessä on kaljun miehen paradoksi. Epämääräiset käsitteet jäävät epämääräisiksi eikä niihin voi soveltaa täsmällisiä päättelysääntöjä.

ÄÄRETTÖMYYS

David Hilbert (1862–1943), oman sukupolvensa suurin matemaatikko, havainnollisti äärettömien lukujen ominaisuuksia hotellivertauksella. Kuvitellaan hotelli, jossa on äärettömän monta huonetta ja ne kaikki varattu. Illalla hotelliin kuitenkin saapuu asiakas kysymään vapaata huonetta. Vastaanottovirkailija ei henno lähettää asiakasta pois tyhjin toimin, joten hän kuuluttaa keskusradiossa, että jokaisen asukkaan täytyy siirtyä seuraavaan huoneeseen. Sen jälkeen hän antaa asiakkaalle huoneen numero 1 avaimen ja ongelma on ratkaistu.

Sitten tapahtuu jotain vielä oudompaa. Pihaan ajaa bussi, jossa on ääretön määrä matkustajia. Hekin tarvitsevat yösijan. Vastaanottovirkailija tarttuu taas mikrofoniin ja pyytää kaikkia hotellin asukkaita siirtymään huoneeseen, jonka numero on kaksinkertainen nykyiseen verrattuna. Tämän jälkeen kaikki parilliset huoneet ovat vanhojen asukkaiden käytössä ja bussin matkustajat voivat siirtyä parittomiin huoneisiin.

Hilbertin hotelli vaikuttaa oudolta. Lähestytään ongelmaa hieman täsmällisemmin muutamien lukujoukkojen avulla:

• luonnolliset luvut:
• kokonaisluvut:
• rationaaliluvut:
• reaaliluvut:     

N = {0, 1, 2, 3, …}
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Q = {m/n: m ja n ovat kokonaislukuja (Z) ja n ≠ 0}
R = kaikkien desimaalilukujen joukko

Tarkastellaan ensin parillisten lukujen joukkoa E = {0, 2, 4, 6}. Jokainen alkio on luonnollinen luku, joten E on N:n osajoukko. Itse asiassa vaikuttaisi siltä, että N on kaksinkertainen E:hen verrattuna. Mutta ei luoteta intuitioon, vaan varmistetaan asia. Tehdään taulukko, johon merkitään alkiot vastinpareineen, bijektioineen:

N:	0	1	2	3	4	5	…	n	…
E:	0	2	4	6	8	10	…	2n	…

Intuitio oli tosiaankin johtamassa meitä harhaan. N ja E ovatkin samankokoisia. Ei ole yhtään luonnollista lukua, jolle ei löytyisi vastinparia parillisista luvuista. Tätä ominaisuutta hyödynnettiin Hilbertin hotellissa.

Entäs sitten kaikki kokonaisluvut? Eikö niitä ainakin ole enemmän kuin luonnollisia lukuja, kun negatiivisetkin luvut otetaan huomioon? No ei, niillekin löydetään vastaavuus:

N:	0	1	2	3	4	5	…	2n-1	2n	…
Z:	0	1	-1	2	-2	3	…	n	-n	…

Rationaaliluvut on jo vaikeampi tapaus, mutta niillekin on löydettävissä vastinparit. Ovatko siis kaikki äärettömät lukujoukot yhtä suuria?

Saksalainen matemaatikko Georg Cantor (1845–1918) yritti aikansa löytää vastinpareja luonnollisille luvuille ja reaaliluvuille, mutta desimaaliluvut osoittautuivat hankaliksi. Hän päätteli, että jos hän ei keksi vastinpareja, niin ei niitä sitten olekaan. Niinpä hän sitten todisti asian. Reaalilukujen ääretön on siis mahtavampi (mahtava on tosiaan matemaattinen termi, jota käytetään äärettömyyksien vertailussa) kuin luonnollisten lukujen. Hilbertin hotelli oli ääretön, mutta onneksi bussissa oli vain kokonaisia henkilöitä – desimaalisten henkilöiden kanssa Hilbertkin olisi ajautunut vaikeuksiin. Luonnollisten lukujen kanssa yhtä mahtavia äärettömiä joukkoja sanotaan numeroituvasti äärettömiksi. Sitä mahtavammat ovat ylinumeroituvia.

Seuraava kysymys tietenkin on, että onko numeroituvien ja ylinumeroituvien välisiä äärettömyyksiä. Cantor yritti ratkaista tätäkin ongelmaa. Hän oletti, että sellaista joukkoa ei ole, mutta ei pystynyt todistamaan sitä. Oletusta kutsutaan kontinuumihypoteesiksi.

Ennen kuin jatkamme tästä, on syytä mainita, että Cantorin perustaman joukko-opin loogisuus kyseenalaistui aiemmin mainitun Russellin paradoksin (Jos R koostuu kaikista joukoista, jotka eivät sisällä itseään, niin sisältääkö R itsensä?) takia. Joukko-oppia ei hylätty, vaan sille haettiin aksiomaattista perustaa, joka estäisi kyseisen ja muut vastaavat paradoksit. Zermelo-Fraenkelin aksioomat ovat tärkeimmät ja lähes kaiken matematiikan voidaan katsoa lepäävän niiden päällä.

Vuonna 1940 Gödel todisti, että kontinuumihypoteesi on konsistentti (ristiriidaton) Zermelo-Fraenkelin joukko-opin (ZF) kanssa. Tarina ei kuitenkaan pääty tähän. Vuonna 1963 Paul Cohen (1934–2007) antoi lopullisen ratkaisun 80 vuotta vanhaan ongelmaan: myös negaatio kontinuumihypoteesista on konsistentti ZF:n kanssa. Toisin sanoen kontinuumihypoteesi on riippumaton ZF:stä. Ja vielä toisin sanoen: ei ole varmaa tietoa, onko numeroituvien ja ylinumeroituvien välisiä äärettömyyksiä.

The only way of finding the limits of the possible is by going beyond them into the impossible.

Arthur C. Clarke

Kontinuumihypoteesi on vain yksi joukko-opin arvoituksista. Toinen mielenkiintoinen on ns. valinta-aksiooma. Ajatellaan vaikka kaikkia Suomessa kirjoilla olevia. Heidät voi jakaa noin 310 ryhmään sen mukaan, missä kunnassa he ovat kirjoilla. Jokaiselle kunnalle on nyt mahdollista valita edustaja, kuten kunnanjohtaja tai vaikka vanhin kansalainen. Valinta-aksioomassa on kyse siitä, voiko saman tehdä äärettömälle joukolle. Voimmeko edelleen valita edustajan kullekin osajoukolle? Monet matemaatikot pitävät tätä itsestään selvänä, siis aksioomana. Tätä aksioomajärjestelmää kutsutaan ZFC:ksi (Zermelo-Fraenkel set theory with choice). Se on suosituin perusta kaikelle matematiikalle.

Kaikki eivät ole vakuuttuneita. Yksi tärkeimmistä syistä epäluuloon on Banach-Tarski paradoksi. Sen mukaan ZFC:n avulla voi todistaa, että kolmiulotteinen pallo voidaan jakaa viiteen osaan ja koota uudelleen kahdeksi palloksi, jotka molemmat ovat alkuperäisen kokoisia. Viattoman kuuloinen aksiooma, johtaa absurdiin lopputulokseen. Joidenkin mielestä valinta-aksiooma on tästä syystä hylättävä. Toiset taas ovat sitä mieltä, että äärettömillä joukoilla voi tosiaan olla epäintuitiivisia ominaisuuksia. Mahtuihan Hilbertin täyteen hotelliinkin vielä toinen ääretön joukko asukkaita.

Filosofit jakautuvat karkeasti kahteen koulukuntaan näissä kysymyksissä. Platonistit (tai realistit) uskovat, että jossain mielessä äärettömät joukot ovat todellisia ja kysymyksiin on olemassa täsmälliset vastaukset. Matemaattiset oliot ja teoreemat ovat olemassa ihmisestä riippumatta. Nominalistit (tai anti-platonistit tai antirealistit tai formalistit) taas eivät usko, että matematiikkaa on olemassa ihmismielen ulkopuolella. Numero 3 ei sen todellisempi kuin Mikki Hiiri tai James Bond. On vain ihmisen luomia sääntöjä, joiden perusteella 3 + 2 ei voi olla 6, tai Mikki Hiiri ilkeä, tai James Bond pukeutua tuulipukuun. Ei siis ole ulkoista todellisuutta, jonka kanssa ZFC:n pitäisi olla yhtäpitävä.

Koulukuntien eroa voi kuvata myös sen mukaan, miten vastataan yksinkertaiseen kysymykseen: löydetäänkö (discover) vai keksitäänkö (invent) matematiikan teoreemat? Suurin osa matemaatikoista on selvitysten mukaan platonisteja. He uskovat matematiikan vain paljastavan totuuksia. Kysymys on kuitenkin filosofinen, joten matemaatikoiden kanta on vain mielipide, ellei sitä voi perustella.

Platonismia puoltaa matematiikan johdonmukaisuus. Tutkijat eri puolilla maailmaa päätyvät samoihin johtopäätöksiin ja teoreemiin toisistaan riippumatta. Matematiikka on myös osoittautunut hyödylliseksi fysiikassa ja monissa muissa tieteissä. Jonkinlaisen Platonin ideamaailman täytyy siis olla olemassa aivan riippumatta siitä, etsivätkö ihmiset näitä ideoita vai eivät. Toisaalta nominalistit eivät pidä ihmeenä sitä, että matemaatikot päätyvät samoihin johtopäätöksiin. Se on oletettavaakin, koska he seuraavat samaa sääntökirjaa, joka kuitenkin on ihmisen laatima. Matematiikan ja fysiikan yhtäpitävyys selittyy sillä, että matematiikka perustuu havainnoille fyysisestä maailmasta. Siinä ei ole mitään ihmeellistä. Platonistien ja nominalistien välinen kiistely on jatkunut vuosituhansia eikä näköpiirissä ole sille ratkaisua.

VAATIVAT OHJELMOINTIONGELMAT

Tietokoneet ovat järjen perikuvia. Ne ovat sydämettömiä ja noudattavat vain logiikan lakeja. Ne pystyvät suorittamaan monia tehtäviä uskomattomalla nopeudella. Loogiset operaatiot, yhteen- ja vähennyslaskut, kerto- ja jakolaskut sekä haku- ja järjestelyoperaatiot ovat niille helppoja. Kuitenkin tietyt näennäisen yksinkertaiset ongelmat ovat niille hankalia. Nykyisen kaltainen tietokone, Turingin kone, kyllä pystyy periaatteessa ratkaisemaan tällaiset ongelmat, mutta ei järkevässä ajassa.

Königsbergin (nyk. Kaliningrad) kaupungin läpi virtaa Pregolja-joki, jonka keskellä sijaitsee kaksi saarta. Mantereen ja saarien välillä oli seitsemän siltaa. Kaupunkilaiset pohtivat, voisiko tehdä kävelylenkin siten, että ylittää jokaisen sillan kerran ja päätyy lähtöpisteeseen. Vuonna Leonhard Euler (1707–1783) tarttui ongelmaan. Hän piirsi kuvan, josta oli karsittu kaikki epäoleellinen (kuva 1). Niinpä kukin yhtenäinen maa-alue kuvattiin solmupisteenä ja silta yhdysviivana. Euler todisti, että kuvaan on mahdollista piirtää polku, Eulerin kehä, joka kulkee jokaisen yhdysviivan kautta kerran, jos jokaiseen solmuun tulevien yhteyksien määrä on parillinen. Königsbergin tapauksessa kaikkiin solmuihin tulee pariton määrä yhteyksiä, joten polkua ei voi piirtää. Tämä ongelma kuuluu polynomiongelmien, P (polynomial time), joukkoon, joita tietokoneohjelmat kykenevät ratkomaan järkevässä ajassa, polynomiajassa. Muita vastaavia ovat operaatiot kuten n, n², n x log₂ n.

Kuva 1.Königsbergin siltaongelma
(Bogdan Giuşcă (1), Chris-martin (2,3)/CC BY SA-3.0/Wikimedia Commons)

Kauppamatkustajan ongelmassa tehtävänä on kiertää joukko kaupunkeja lyhintä reittiä. Osoittautuu, että vaihtoehtoisia reittejä on kaupunkien lukumäärän kertoma. Niinpä jo kuuden kaupungin tapauksessa vaihtoehtoja on

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

720 vaihtoehtoa voi tietenkin käydä ohjelmallisesti läpi hetkessä. Entäpä, jos kaupunkeja olisikin sata? Silloin vaihtoehtoja olisi 100! = 9,33 x 10¹⁵⁷. Jos ohjelma kävisi läpi miljoona vaihtoehtoa sekunnissa, siltä kuluisi vaatimattomat 2,9 x 10¹⁴⁴ vuotta selvittää kaikki vaihtoehdot. Ei kovin käytännöllistä.

Hamiltonin kehäongelma vaikuttaa melko samanlaiselta kuin yllä mainittu Eulerin kehäongelma. Tällä kertaa tehtävänä on kiertää reitti siten, että jokaisen solmupisteen (eikä yhteyden kuten siltaongelmassa) kautta kierretään kerran palaten lähtöpisteeseen. Vaihtoehtojen määrä on jälleen kertoma. Viattoman tuntuinen muutos tehtävän määrittelyssä johtaa vaihtoehtojen räjähtämiseen. Eulerin kikka ei enää toimi.

Joukon partitiointiongelma on myös yllättävän vaativa. Oletetaan, että joukko opiskelijoita, joiden iät ovat {18, 23, 27, 65, 22, 25, 19, 21}, pitäisi jakaa kahteen ryhmään niin, että molempien ryhmien ”elämänkokemus” on sama. Jos muodostetaan ryhmät {18, 27, 65} ja {23, 22, 25, 19, 21}, niin molempien summa on 110. Pienellä määrällä alkioita ongelma ei ole vaikea. Vaihtoehtoja on 2ⁿ, missä n on alkioiden määrä. Jos opiskelijoita olisi sata, niin vaihtoehtoja saataisiin 2¹⁰⁰ = 1,3 x 10³⁰. Jos ohjelma kävisi läpi miljoona vaihtoehtoa sekunnissa, niin aikaa kuluisi 4,0 x 10¹⁶ vuotta, noin 3 miljoonaa kertaa universumin ikä.

Boolen lausekkeiden toteutuvuusongelmassa käytetään yksinkertaisia loogisia operaatioita (ja ꓥ, tai V, negaatio ¬ ja implikaatio →). Tehtävänä on vain määritellä, onko looginen yhtälö toteutuva joillakin muuttujien arvoilla. Esimerkiksi lauseke

(p V ¬q)  →  ¬(p ꓥ q)

toteutuu (arvo on TOSI), jos p = TOSI ja q = EPÄTOSI. Koululaiset oppivat ratkaisemaan tällainen yhtälö totuustaulukon avulla. Sen koko tosin kasvaa eksponentiaalisesti (2ⁿ) muuttujien määrän (n) kasvaessa.

Yllä olevien kaltaisia tehtäviä, jotka johtavat korkeintaan 2ⁿ tai n! vaihtoehtoon, kutsutaan NP-ongelmiksi (nondeterministic polynomial time). Niille ei tunneta polynomiaikaista ratkaisua. Sen sijaan polynomiaikaisia ovat esimerkiksi ongelmat joiden mahdollisten ratkaisujen määrä kasvaa hitaammin, kuten n, n², n x log₂ n. Vaativista ongelmista on hyötyäkin, esimerkiksi salauksessa. Kuka tahansa voi kertoa kaksi alkulukua, mutta suuren alkuluvun tekijöiden löytäminen on hankalaa. Kertolasku on P-ongelma, mutta tekijöihin jakaminen vaativa NP-ongelma. Tätä epäsymmetriaa hyödynnetään julkisen avaimen RSA-salausalgoritmissa.

Yksi tapa luokitella vaativia ongelmia on vertailla niitä keskenään ja pyrkiä palauttamaan, redusoimaan, ongelma toiseksi. Tämä voidaan tehdä osoittamalla esimerkiksi, että ongelma B on ongelman A erikoistapaus. Tällä tavalla voidaan luokitella NP-ongelmat vaikeusjärjestykseen ja määritellä ”maksimaalisen vaikean” ongelman käsite, NP-täydellisyys. Yllä mainitut ongelmat (Eulerin kehäongelmaa lukuun ottamatta) ovat kaikki NP-täydellisiä. Tuhannet tutkijat ovat turhaan yrittäneet löytää algoritmia, jolla ne voitaisiin ratkaista polynomiajassa. Luultavasti sellaista algoritmia ei olekaan. Jos tällaisen ongelman saa ratkaistavakseen, kannattaa pyrkiä osoittamaan, että se on jonkin NP-täydellisen ongelman erikoistapaus. Silloin pomo ehkä hyväksyy ”riittävän hyvän” ratkaisun eikä vaadi täsmällistä. Tämä voi pelastaa työpaikan.

Jos ongelmat voi asettaa vaativuusjärjestykseen, niin olisi tietenkin hauska löytää se ensimmäinen NP-ongelma, jonka erikoistapauksia kaikki muut NP-täydelliset ongelmat ovat. Cook-Levin teoreeman mukaan sellainen todella on olemassa. Kaikki NP-ongelmat ovat palautettavissa yllä mainittuun Boolen lausekkeiden toteutuvuusongelmaan. Eikä siinä kaikki. Teoreeman mukaan tunnettujen lisäksi kaikki muutkin NP-ongelmat – siis nekin joita ei vielä ole määritelty – ovat palautettavissa siihen. Clay-instituutti on luvannut maksaa miljoona dollaria sille, joka keksii polynomiaikaisen ratkaisun NP-täydellisille ongelmille.

MAHDOTTOMAT OHJELMOINTIONGELMAT

Alan M. Turing (1912–1954) kuvasi teoreettisen tietokoneen mallin vuonna 1936 ennen kuin ensimmäistäkään oli rakennettu. Sitä voi käyttää ohjelmien rajojen teoreettiseen tutkimiseen. Kone alkaa toimia, kun se saa sopivan syötteen, ja pysähtyy, kun se on suorittanut ohjelman. Mikäli ongelma ei ole ratkaistavissa Turingin koneella, sille ei ole laskennallista ratkaisua; se on ratkeamaton. Tällainen on pysähtymisongelma. Turing todisti, että sellaista ohjelmaa ei voi olla, joka pystyisi analysoimaan minkä tahansa tietokoneohjelman ja päättelemään pysähtyykö kone (ratkeaako ongelma) vai jääkö se ikuiseen silmukkaan.

Sittemmin keksittiin muitakin vastaavia ongelmia. Vuonna 1951 Henry Rice viimein yleisti asian todistamalla, että ohjelmissa ei voi olla mitään kiinnostavaa ominaisuutta, jonka toinen ohjelma voisi varmuudella havaita. Ongelmia voi kuitenkin analysoida samoin kuin NP-ongelmia. Jos jokin ongelma B on palautettavissa ongelmaksi A, joka jo tiedetään ratkeamattomaksi, niin myös B on ratkeamaton.

Mielenkiintoinen filosofinen kysymys on, voiko ihmismieli ratkaista mahdottomia ohjelmointiongelmia. Toimiiko mieli paremmin kuin tietokoneen algoritmit? Yllä olevat ratkeamattomat ongelmat näyttävät kaikki liittyvän ohjelmien itseviittauksiin. Onko ihmismielen tietoisuus merkki kyvystä itseviittaukseen? Ihminenhän voi ajatella itseään ja myös ajatella itseään ajattelemassa itseään ja niin edelleen. Aiheuttaako itseviittaus tietokoneille rajoituksia, mutta ihmismielelle tietoisuuden? Jos mieli on enemmän kuin kone, niin voisiko koneesta tehdä enemmän mielen kaltaisen? Ja saisiko se silloin tietoisuuden? Näihin kysymyksiin emme tiedä vastauksia.

TIETEEN RAJAT

Kaaosteoria

Henri Poincaré (1854–1912) kertoo tarinan miehestä kävelemässä kadulla kaikessa rauhassa, kun hänen päähänsä osuu kattotiili ja hän kuolee. Jos mies olisi kävellyt hitaammin tai nopeammin, tiili ei olisi osunut. Jos katon rakentaja ei olisi pudottanut tiiltä tai olisi pudottanut sen hetkeä aiemmin tai myöhemmin, tiili ei olisi osunut. Mikä on tarinan opetus? Huono tuuri? Vai olisiko mies mitenkään voinut kävellä eri vauhtia tai katon rakentaja välttää virheen?

Isaac Newtonin (1642-1726) kehittämien mekaniikan lakien ansiosta maailmankaikkeutta alettiin ajatella valtavana kellokoneistona, jossa kaikki tapahtuu vääjäämättä mekanististen luonnonlakien mukaan. Pierre Simon de Laplacen (1749–1827) mukaan superäly, Laplacen demoni, pystyisi ennustamaan tulevaisuuden, jos se tuntisi kaikki maailmankaikkeudessa vaikuttavat voimat ja kappaleiden sijainnit ja nopeudet tietyllä hetkellä. Jos tämä olisi totta, onnettomuutta ei olisi voinut välttää, koska sekä mies että katontekijä olivat vain kellokoneiston tahdottomia osia.

Vuonna 1961 Edward Lorenz (1917-2008) tutki sääilmiöitä tietokoneen avulla. Hän kehitti muutamia yhtälöitä kuvaamaan säätilan muutoksia. Eräänä päivänä hän halusi toistaa aiemman tietokoneajonsa loppuosan. Hän ei kuitenkaan aloittanut simulaatiota alusta, vaan syötti ohjelmalle arvot jostain ajon puolivälistä. Tällä kertaa ajo tuotti tyystin erilaisen lopputuloksen kuin aiemmalla kerralla. Syyksi paljastui se, että alkuperäinen simulaatio oli toiminut kuuden desimaalin tarkkuudella, mutta Lorenz oli syöttänyt arvot vain kolmella desimaalilla, siis tuhannesosan tarkkuudella. Lorenz kirjoitti aiheesta artikkelin, jolla oli värikäs otsikko: ”Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?”. Ilmiötä on alettu kutsua “perhosvaikutukseksi” (butterfly effect) ja järjestelmiä, jossa ilmiö esiintyy kaoottisiksi.

Kaoottisia järjestelmiä ei ole vaikea löytää. Fysiikan alkeiskurssilla opitaan laskemaan tarkasti heilurin liikkeitä. Jos heilurin vapaaseen päähän lisätään toinen heiluri, saadaan kaksoisheiluri, joka on varsin yksinkertainen laite. Samalla se on kaoottinen järjestelmä. Molemmat heilurit liikkuvat outoja ratoja. Kaoottisuus ei kuitenkaan tarkoita, että järjestelmä ei olisi deterministinen; se tietenkin noudattaa mekaniikan lakeja. On lähes mahdotonta toistaa samaa liikerataa kahta kertaa, vaikka kuinka yrittäisi päästää laitteiston liikkeeseen samasta kohtaa. Deterministinen järjestelmä tuottaa tapahtumaketjun, jota ei voi ennustaa.

Mandelbrotin joukkoa voisi luonnehtia yhdeksi matematiikan kauneimmista osista. Joukon alkiot saadaan iteroimalla kompleksilukufunktiota

z_n+1 = z_n² + c

jossa sekä x että c ovat kompleksilukuja, c on vakio ja z:n alkuarvo on nolla (0,0). c:n arvosta riippuen yhtälöä iteroitaessa se joko kasvaa äärettömyyteen tai pysyy pienenä. Joukosta voi piirtää kuvion (kuva 2), fraktaalin, eri c:n arvoilla. Äärettömyyteen karkaavat (divergoituvat) yhtälön arvot erottuvat valkoisena ja pienenä pysyvät (konvergoivat) mustana. Huomio kiinnittyy kuvion reunaan. Se ei ole suora viiva vaan röpelöinen. Itse asiassa se toistaa loputtomasti samaa kuviota pienempään ja pienempään mittakaavaan. Koska kuvio mahtuu helposti kuvaan, sen alan täytyy olla äärellinen. Silti sen reunaviivan pituus on ääretön, mikä vaikuttaa paradoksaaliselta.  Jos Lorenzin perhosvaikutuksen voisikin kuitata sillä, että lähtötilanne ilmaistiin kolmella desimaalilla kuuden sijasta, niin tässä tilanne on toinen. Fraktaalin muoto riippuu äärettömästä määrästä desimaaleja. Tämä on kaoottisten järjestelmien perusongelma: alkutila pitäisi pystyä ilmaisemaan äärettömän tarkasti.

Kuva 2. Mandelbrotin joukko: vaaka-akselilla c:n reaaliosa ja pystyakselilla imaginääriosa
(Connelly/CC0/Wikimedia Commons)

Itse asiassa olemme kaikki kaoottisen järjestelmän tuotteita. Kun hedelmöittynyt munasolu jakautuu, jokainen uusi solu on edellisen identtinen kopio. Miten solut sitten osaavat erikoistua? Joistain soluista tulee ihosoluja, toisista lihassoluja, kolmansista maksan soluja, neljänsistä silmän aistinsoluja ja niin edelleen. Toiseen laitaan alkiota alkaa rakentua pää, toiseen jalat ja keskelle vartalo. Hyvin pienet erot solujen lähtötilassa ja sijainnissa määräävät, mitä niistä tulee.

Klassista fysiikkaa pidetään eksaktina tieteenä, mutta yllättävän nopeasti sielläkin törmätään ongelmiin. Isaac Newtonin kuuluisa kaava

F = G(m₁m₂/r²)

soveltuu planeettojen kiertoratojen laskemiseen ja vaikkapa omenan putoamiseen puusta maahan. Kappaleiden välinen voima (F) riippuu niiden massasta (m₁ ja m₂) ja etäisyydestä (r). Lisäksi kaavassa on vakiotermi G. Seuraavaksi olisi tietysti hauska kehittää kaava kolmen kappaleen järjestelmälle, kuten aurinko, maa ja kuu, ja edelleen yleisemmälle n:n kappaleen järjestelmälle, kuten koko aurinkokunta kaikkine planeettoineen ja kuineen.

Kolmen kappaleen ongelman voisi kuvitella riippuvan massoista (m₁,m₂ ja m₃) ja etäisyyksistä (r₁₂, r₁₃, r₂₃). Ongelmaan ei kuitenkaan ole löytynyt yksinkertaista ratkaisua ja osittaisratkaisutkin ovat äärettömän monimutkaisia ja vaativat valtavasti laskentakapasiteettia. Lisäksi järjestelmä on kaoottinen; se on erittäin herkkä pienille eroille lähtötilanteessa. Esimerkiksi auringon, maan ja kuun järjestelmä on deterministinen, mutta vaikeasti ennustettava. Maan kiertoajaksi voidaan vielä ilmoittaa tarkasti 365.2421897 vuorokautta, koska kuun massa on pieni eikä juuri vaikuta, mutta kuun kiertoajaksi ilmoitetaan vain ”keskimäärin 29,53 vuorokautta”. Auringon ja maan massat vaikuttavat merkittävästi kuuhun, joten sen kiertoaika voi poiketa ±15 tuntia keskiarvosta.

Yllä olevasta voi päätellä, että olisi mahdotonta yrittää laskea järjestelmän toimintaa atomeista ja molekyyleistä alkaen. Emme voi mitenkään pitää lukua kaikista mikroskooppisista vesimolekyyleistä teekupissa. Voimme vain mitata makroskooppisia suureita. Esimerkiksi lämpötila mittaa partikkelien keskimääräistä liike-energiaa ja paine liikemäärää.

Kvanttimekaniikka

Kvanttimekaniikka on fysiikan syvällisin teoria. Kaikki fysikaaliset ilmiöt, gravitaatiota lukuun ottamatta, voidaan selittää sen avulla. Kyse ei ole liki- tai keskiarvoista vaan täsmällisimmästä tieteestä, jonka tunnemme. Kuitenkin kvanttimekaniikassa on outoja, epäintuitiivisia ilmiöitä, joita ei voi selittää klassisen mekaniikan avulla.

Kaksoisrakokokeessa (kuva 3) valo kulkee kahden lähekkäin sijaitsevan raon läpi takana sijaitsevalle kankaalle. Valoaaltojen vuorovaikutuksen, interferenssin, vuoksi kankaalle muodostuu vaaleammista ja tummemmista vyöhykkeistä muodostuva kuvio, koska joissain kohdin valoaaltojen vaihe-erot vahvistavat (kuvassa sinisellä) ja joissain kohdin vaimentavat toisiaan (kuvassa vaalealla). Jos toinen rako peitetään, niin kankaalle piirtyy vain yksi vyöhyke, koska interferenssiä ei synny. Tähän asti kaikki tuntuu loogiselta.

Kuva 3. Kaksoisrakokoe
(NekoJaNekoJa, Johannes Kalliauer/CC BY-SA 4.0/Wikimedia Commons)

On myös mahdollista lähettää yksi ainoa fotoni, tai vaikkapa elektroni (kuten kuvassa), kaksoisraon läpi. Klassisen mekaniikan lakien mukaan se kulkisi jommankumman raon läpi ja piirtäisi yhden vyöhykkeen kankaalle. Näin ei kuitenkaan tapahdu, vaan kankaalle piirtyy interferenssikuvio. Fotoni näyttää kulkevan molempien rakojen läpi ja interferoivan itsensä kanssa. Klassisessa mekaniikassa olio voi olla vain yhdessä paikassa, positiossa, kerrallaan. Ilmiötä, jossa fotoni on kahdessa paikassa tai tilassa yhtä aikaa, kutsutaan superpositioksi. Jos toinen rako olisi peitetty, niin fotonilla olisi ollut positio, ja kankaalle olisi piirtynyt vain yksi vyöhyke. Kuinka fotoni ”tiesi”, pitääkö sen säilyttää positio vai mennä superpositioon?

Entä jos yritämme jotenkin urkkia, kumman raon kautta fotoni kulkee? Niin voi tehdä, mutta vaikka kuinka yritämme, emme koskaan voi havaita fotonia muuta kuin positiossa. Jos molemmat raot on jätetty auki ja ilmaisin on paikalla, fotoni ei mene superpositioon. Entä, jos teemme viivästetyn koejärjestelyn? Fotonin annetaan kulkea kaksoisraon läpi ja vasta sen jälkeen valitaan, ilmaistaanko fotonin reitti vai interferenssikuvio. Tälläkään tavalla fotonia ei voi ”huijata”. Aina, kun sen reittiä yritetään ilmaista, vaikka viivästetystikin, se pysyy positiossa. Fotonin havainnointi tuntuu muuttavan menneitä tapahtumia. Tai sitten havainnoitsija täytyy ymmärtää osaksi koejärjestelyä; mittaaja vaikuttaa lopputulokseen.

Kun hiukkasen tila mitataan, sen sanotaan romahtavan monen tilan superpositiosta yhteen tiettyyn positioon. Ilmiö ei koske vain fotonia ja kaksoisrakokoetta. Myös elektronit, atomit ja jopa isot molekyylit voivat olla superpositiossa, samoin hiukkasten ominaisuudet, kuten liikemäärä ja spin. Koulussa opetettiin, että elektronit kiertävät atomiydintä omilla kuorillaan. Se ei aivan pidä paikkaansa. Opettajatkin ovat ihmisiä eivätkä halunneet nolata itseään kertomalla, että todellisuudessa elektronit kiertävät ydintä superpositiossa kaikilla kuorilla, todennäköisyyspilvessä.

Kun superpositio romahtaa, mitattava suure saa yhden mahdollisista arvoistaan sattumanvaraisesti. Kullakin arvolla on silti oma todennäköisyytensä. Esimerkiksi todennäköisyyspilvessä oleva elektroni voisi romahtaa atomin uloimmalle kuorelle 11.83 %:n, keskimmäiselle 47.929 %:n ja sisimmälle 40.241 %:n todennäköisyydellä. Tämä epävarmuus on erilaista kuin kaaosteorian epävarmuus, joka on kyllä determinististä, mutta ei ennustettavaa. Kvanttimaailma ei ole edes deterministinen.

Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen mukaan tiettyjä hiukkasten ominaisuuspareja ei voi määrittää äärettömän tarkasti. Tällainen pari on esimerkiksi paikka ja liikemäärä. Kyse ei ole mittalaitteiden puutteellisuudesta. Universumi vain ei halua paljastaa salojaan tiettyä rajaa tarkemmin.

Yksi kvanttimekaniikan outouksista on lomittuminen (entanglement). Jos hiukkanen, jonka spin on 0, hajoaa kahdeksi hiukkaseksi, A ja B, pyörimismäärän säilymislain mukaan järjestelmän spinin täytyy edelleen olla 0. Jos A:lle mitataan positiivinen spin, täytyy B:n olla vastaavasti negatiivinen. Kuitenkin hiukkaset ovat superpositiossa hajoamisen jälkeen. Ne voidaan viedä hyvin kauas toisistaan ja silti järjestelmän superpositio säilyy. Samalla hetkellä, kun A:n spin mitataan ja se romahtaa superpositiosta, myös B:n superpositio romahtaa ja se saa vastakkaisen spinin kuin A. Tämä rikkoo klassisen fysiikan paikallista reaalisuutta, jonka mukaan vaikutusten täytyy olla sekä paikallisia että reaalisia. Paikallisuuden (locality) mukaan kaukana toisistaan olevien kappaleiden vuorovaikutus ei voi kulkea valoa nopeammin. Reaalisuuden mukaan kappaleilla on ominaisuuksia, jotka ovat mittauksesta riippumattomia.

Albert Einstein ja nuoremmat kollegansa, Boris Podolsky (1896–1966) ja Nathan Rosen (1909–1995), kirjoittivat vuonna 1935 kvanttimekaniikan ilmiöistä artikkelin, joka tunnetaan nimellä ”EPR”. He pitivät ilmiötä absurdina ja osoituksena siitä, että kvanttimekaniikasta puuttuu jotain. He päättelivät, että joko on olemassa mystinen ei-paikallinen vuorovaikutus – ”aavemainen kaukovaikutus” kuten Einstein sanoi – tai sitten emme vain tiedä kaikkea olennaista. EPR-artikkelin kirjoittajat taipuivat jälkimmäiseen vaihtoehtoon. Heidän mukaansa täytyy olla piilomuuttujia (hidden varaibles), joita emme vielä tunne, ja kvanttimekaniikka on epätäydellinen, kunnes nuo piilomuuttujat selvitetään.

Vuonna 1964 John Stewart Bell (1928–1990) todisti, että Einstein oli väärässä. Bellin teoreeman mukaan superpositio on todellinen ja oletus paikallisuudesta on hylättävä. Jos piilomuuttujia olisi, ne eivät muuttaisi sitä tosiasiaa, että ei-paikallisia vuorovaikutuksia esiintyy. Vuonna 1967 Kochen-Specker kokeessa osoitettiin, että hiukkasella ei ole tiettyjä ominaisuuksia, tässä tapauksessa spiniä, ennen mittausta. Se siis on todella superpositiossa.

Kvanttimekaniikassa siis

• todellisuus riippuu siitä, miten se mitataan eikä kokeen suorittajaa voi eristää kokeesta (kaksoisrakokoe)
• hiukkanen voi olla monessa tilassa yhtä aikaa (superpositio)
• tietyt ominaisuusparit voidaan tietää vain tietyllä tarkkuudella (Heisenbergin epätarkkuusperiaate)
• avaruuden etäiset osat voivat olla vuorovaikutuksessa (laskostuminen)

Yleisin selitys – tai epäselitys – kvanttimekaniikan outoudelle on ns. Kööpenhaminan tulkinta. Sen mukaan ei ole olemassa syvällisempää fysikaalista todellisuutta, josta havaitsemamme universumi koostuu. Mitta-arvoja ei ole ennen kuin tietoinen havainnoitsija ne mittaa; mittaus aiheuttaa mitta-arvon. Kvanttimaailmaa ei ole, on vain sen abstrakti kvanttimekaaninen kuvaus. Kvanttimekaniikka ei selitä, millainen todellisuus on tai miksi; se vain kertoo asioita todellisuuden luonteesta.

We choose to examine a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics. In reality, it contains the only mystery. We cannot make the mystery go away by ‘explaining’ how it works. We will just tell you how it works

Richard Feynman

Monille Kööpenhaminan tulkinta on epätyydyttävä. Einstein kysyi, onko kuu olemassa vain silloin, kun hän katsoo sitä. Tulkinta ei edes yritä selittää, mitä konepellin alla on. Se vaikuttaa dogmaattiselta: ”asiat nyt vain ovat näin”. Fyysikkopiireissä vitsaillaan metafyysistä selitystä kaipaaville: ”Suu kiinni ja laske!”. David Deutsch (1953-) on arvostellut tätä asennetta. Hänen ajatuskokeessaan on oraakkeli, joka osaa kertoa jokaisen mittauksen tuloksen. Fyysikot saisivat siltä vastauksensa ilman laskemista. Olisiko tämä tyydyttävää? Useimmille ei varmaankaan. Haluamme ymmärtää, miksi universumi toimii, kuten toimii. Sitä paitsi meillä on jo oraakkeli: universumi, jossa asumme. Hiukkaset tietävät, miten pitää toimia kussakin tilanteessa, vaikka meillä itsellämme on vielä aukkoja sivistyksessä.

Vuonna 1955 Hugh Everett III (1930–1982) ehdotti toista tulkintaa, jota kutsutaan monimaailmatulkinnaksi (many-worlds interpretation). Sen mukaan mittaushetkellä superpositio ei romahda, vaan koko universumi haarautuu moneksi, joissa jokaisessa toteutuu yksi mahdollinen mittaustulos, positio. Kvanttimekaniikka palautuu deterministiseksi, koska jokaisessa vaihtoehtoisessa universumissa on vain positioita eikä lainkaan superpositioita. Myös paikallisuus säilyy, ei ole ”aavemaista kaukovaikutusta”. Tulkinnassa on ilmeisiä ongelmia. Missä nuo kaikki universumit ovat? Millä mekanismilla universumi haarautuu? Mitään todisteita tällaisesta multiversumista ei ole.

Kolmas tulkinta on piilomuuttujateoria, jota EPR-artikkelin kirjoittajat kannattivat. Sen mukaan emme vain tiedä tarpeeksi. Sitten, kun piilomuuttujat saadaan selville, kvanttimekaniikan outoudet saavat selityksensä. Teoria on menettänyt kannatustaan Bellin teoreeman julkaisun jälkeen, koska piilomuuttujat eivät voi selittää ei-paikallisuutta.

Neljäskin tulkinta on: kvanttilogiikka. Sen idea on, että kvanttimaailmassa toimii toisenlainen logiikka kuin makromaailmassa. Se ei varsinaisesti poista kvanttimekaniikan outoutta, vaan yrittää laatia sille säännöt. Voihan olla, että kvanttimekaniikka vain vaikuttaa oudolta, koska aivomme ovat kehittyneet makromaailmassa, jossa esineillä on positionsa eikä koskaan superpositiota.

Suhteellisuusteoria

Albert Einsteinin suhteellisuusteoria koostuu kahdesta erillisestä teoriasta: erityisestä ja yleisestä suhteellisuusteoriasta. Itse asiassa on kolmaskin suhteellisuusteoria, joka oli ensimmäinen ja johon Einstein viittaa teorioidensa nimellä. Galileo Galilei (1564-1642) teki empiirisiä kokeita paikallaan olevassa ja liikkuvassa laivassa ja huomasi, että fysiikan lait pysyvät muuttumattomina, kun liikutaan vakionopeudella. Jos suoraan ylös heitetään pallo, se putoaa takaisin käteen, vaikka laiva liikkuisi nopeastikin. Rannalla oleva tarkkailija sen sijaan huomaisi, että pallo liikkuu sekä pystysuunnassa että laivan liikkeen suuntaan. Tämä ilmiö tunnetaan Galilein suhteellisuusperiaatteena eli Galilei-invarianssina. Ei siis ole olemassa absoluuttista liikettä eikä lepoa. Havainto oli merkittävä, sillä sen avulla Newton kehitti mekaniikan peruslait ja Einstein erityisen suhteellisuusteorian.

Jos kaksi autoa ajaa samaan suuntaan eri nopeuksilla, toinen 80 km/h ja toinen 100 km/h, niin hitaammasta autosta katsoen toisen nopeus on 20 km/h. Jos samat autot ajavat toisiaan vastaan, niin toisen auton nopeus näyttää olevan 180 km/h. Valo –tai sähkömagneettinen säteily – toimii kuitenkin toisin. Einstein kiinnitti huomiota Maxwellin sähkömagnetismin yhtälöissä siihen, että havaitsijan ja valolähteen liikenopeus ”ei ole edes yhtälössä”. Silloin valon nopeus ei noudattaisi samaa periaatetta kuin toistensa suhteen liikkuvat kappaleet. Se olisi riippumaton havaitsijan liiketilasta.

Koska valon nopeus on niin suuri, niin vaihdetaan Galileon laiva avaruusrakettiin ja tehdään sillä ajatuskoe. Ensin mitataan valon nopeus paikallaan olevassa raketissa ja saadaan tulokseksi 300 000 km/s. Sitten mitataan valon nopeus raketissa, joka liikkuu poispäin valolähteestä. Taas saadaan sama tulos. Valon nopeus huippunopeudella liikkuvassa raketissa ei ole pienempi (300 000 km/s – raketin nopeus) kuin liikkumattomassa, vaikka niin voisi olettaa. Jos valonnopeus (yhteen kirjoitettuna) on vakio, niin jonkin muun täytyy joustaa. Nopeus on matkan ja ajan suhde, ja itse asiassa ne molemmat joustavat. Metrin mitta lyhenee ja kellon mittaama sekunti pitenee liikkuvassa raketissa. Tai tarkemmin sanottuna kaikki raketissa lyhenee menosuuntaan ja kaikki aika hidastuu, myös sydämenlyönnit ja muut elintoiminnot eikä vain kello. Raketissa olijat eivät kuitenkaan huomaa muutosta.

Kaksosparadoksin mukaan maahan jäänyt kaksonen on vanhempi kuin huippunopealla raketilla matkustanut kaksonen, koska raketissa aika on kulunut hitaammin. Aikakin on siis suhteellinen ja riippuu havaitsijan liiketilasta. Näin ajan yksi ja avaruuden kolme ulottuvuutta ovat yhteydessä toisiinsa, ja muodostavat neliulotteisen aika-avaruuden. Asiaa voi hahmottaa vertaamalla itä-pohjoiskoordinaatistoon (kuva 4). Jos lentokone lentää vakionopeudella suoraan kohti pohjoista, matka itään ei etene. Kun kone kaartaa itään, nopeus itäsuunnassa kasvaa, mutta vastaavasti pienenee pohjoissuunnassa, koska itä- ja pohjoissuunnan nopeuksien summa on vakio. Tehdään nyt uusi koordinaatisto, jossa x-akselin muodostaa matka avaruudessa, suunnasta välittämättä, ja y-akselina on kulunut aika. Kun lentokone lentää hitaasti, kuluu paljon aikaa lyhyeen matkaan. Kun lentokone lentää lähellä valonnopeutta, maisema vaihtuu nopeasti, mutta aika vastaavasti hidastuu.

Kuva 4. Tason ja aika-avaruuden analogia

Erityisen suhteellisuusteorian yksi seuraus on, että ei ole samanaikaisuutta. Einstein itse havainnollisti tätä ajatuskokeella. Kuvitellaan tarkkailija asemalaiturilla, kun ohi kulkevaan junaan iskee kaksi salamaa, yksi kumpaankin päähän. Tarkkailija on juuri junan keskikohdalla, joten salamat näyttävät iskevän samanaikaisesti. Nyt kuvittellaan junan keskellä oleva matkustaja. Hän näkee salaman ensin junan etuosassa ja vasta sen jälkeen takaosassa. Kumpi on oikeassa? Ei kumpikaan, tai molemmat, sillä samanaikaisuuskin on suhteellista. Tämä tietenkin asettaa haasteita syy-seuraussuhteiden hahmottamiselle.

Erityisen suhteellisuusteorian kuuluisan kaavan

 E = mc²

mukaan energia (E) on massa (m) kertaa valonnopeuden (c) neliö. Energiaa voi siis muuttaa massaksi ja päinvastoin. Jos kappaletta kiihdytetään suurella voimalla, sen nopeus tietenkin kasvaa, mutta ei loputtomasti, koska se ei voi ylittää valonnopeutta. Kappaleen massa alkaa kasvaa niin, ettei se koskaan saavuta valonnopeutta. Liikkeessä olevan kappaleen massa on siis suurempi kuin liikkumattoman. Ero arkitodellisuudessa on mitätön ja tulee merkittäväksi vasta lähestyttäessä valonnopeutta.

Yleisen suhteellisuusteorian perustana on havainto, että painovoima ja kiihtyvyys ovat havainnoitsijan kannalta yksi ja sama asia; niitä ei voi erottaa toisistaan. Tästä seuraa, että kiihtyvyyteen liittyvät ilmiöt, kuten pituuden lyheneminen ja ajan piteneminen, koskevat myös tilannetta suuren massan läheisyydessä. Neliulotteinen aika-avaruus ei olekaan jäykkä ja muuttumaton kehikko, vaan se kaareutuu massojen läheisyydessä ja kappaleen nopeuden kasvaessa. Kello käy hitaammin lattialla kuin pöydän päällä, koska silloin sen etäisyys maan painopisteestä on lyhyempi. Se on siis kaarevammassa kohdassa aika-avaruutta kuin pöydällä oleva kello.

Kvanttimekaniikan ja suhteellisuusteorian yhdistäminen

Sekä kvanttimekaniikka että suhteellisuusteoria vastaavat empiirisiä havaintoja tarkasti. Ne ovat kuitenkin keskenään ristiriidassa:

• Enimmäkseen teoriat toimivat eri tasoilla – kvanttimekaniikka käsittelee erittäin pieniä ja suhteellisuusteoria erittäin suuria kappaleita. Molempia voi kuitenkin soveltaa mustiin aukkoihin ja siinä ne tekevät ristiriitaisia ennusteita.
• Ne perustuvat ristiriitaiseen käsitykseen avaruuden ja ajan luonteesta. Kvanttimaailma on diskreetti ja suhteellisuusteorian avaruus jatkuva. Laskostuminen viittaa siihen, että avaruus on kietoutunut itseensä enemmän kuin suhteellisuusteoria olettaa.
• Klassisen fysiikan ja suhteellisuusteorian lait ovat deterministisiä, mutta kvanttimekaniikan epädeterministisiä.

Tarvitaan siis uusi teoria, joka tuo kvantti- ja makromaailman saman katon alle. Sillä on jo nimikin: kvanttigravitaatio. Siitä tulee kaiken teoria (Theory of Everything tai Grand Unified Theory). Useita kandidaatteja on jo olemassa, mutta vielä emme tiedä mikä niistä voittaa, jos mikään.

METATIEDE

Filosofiset rajoitukset

Ajattelu pohjautuu paljolti yleistämiseen. Havaitsemme jonkin toistuvan ilmiön, vaikkapa sen että joutsenet ovat valkoisia, ja päättelemme, että niin on aina. Mitään todisteita asiasta ei ole; emme vain ole koskaan havainneet muun värisiä joutsenia. Kun painamme valokatkaisinta, oletamme valon syttyvän, koska niin on tapahtunut aina ennenkin. Tätä kutsutaan induktioksi. Jo filosofi David Hume (1711-1776) kritisoi induktiivista logiikkaa. Hänen mukaansa siinä tehdään perusteeton oletus muuttumattomasta universumista.

Kysymys on aivan tieteen ytimessä. Teoriat on luotu tekemällä empiirisiä havaintoja ja yleistämällä niistä tieteellinen totuus. Newton oletti, että hänen liikeyhtälönsä soveltuvat kaikille kappaleille kaikkialla universumissa. Nyttemmin on havaittu, että hän oli väärässä. Kvanttimekaniikka todistaa, että Newtonin lait eivät toimi pienillä kappaleilla. Lisäksi suhteellisuusteoria todistaa, että ne eivät ole koko totuus massiivisista kappaleista. Induktio on selvästikin ongelmallinen. Kuitenkin se auttaa meitä selviämään arjessa. On perusteltua olettaa, että aurinko nousee aamulla, koska niin on käynyt aina ennenkin. Vaikka emme voi todistaa sitä, voimme ainakin pitää auringonnousua erittäin todennäköisenä.

Yksi vanhimmista tieteen työkaluista on Occamin partaveitsi. Vilhelm Occamilaisen (1285–1349) mukaan ei pidä olettaa enemmän kuin täytyy. Partaveitsi kielikuvallisesti viittaa siihen, että sillä leikataan pois turhat oletukset. Jos on olemassa kaksi tapaa kuvata ilmiö, niin meidän tulisi valita yksinkertaisempi. Kun Nikolaus Kopernikus (1473-1543) kehitti aurinkokeskeisen maailmankuvan, hän painotti sen yksinkertaisuutta verrattuna maakeskeiseen. Ei enää tarvittu episyklejä kuvaamaan planeettojen ratoja.

Occamin partaveitsi on hyvä työkalu. Ongelmana vain on määrittää, mikä on turha oletus. Kopernikus oletti, että planeettojen radat ovat ympyrän muotoisia. Tällä oletuksella aurinkokeskeinen maailmankuva sopii huonommin havaintoihin kuin maakeskeinen episykleineen, jotka oli sovitettu havaintoihin. Johannes Kepler (1571–1630) sitten osoitti, että Kopernikus oli oikeilla jäljillä, mutta radat ovatkin ellipsejä. Ympyrä kyllä olisi yksinkertaisempi muoto. Samoin Newtonin lait ovat yksinkertaisempia kuin Einsteinin, mutta se ei tee niistä oikeampia.

Yksinkertaisuuden lisäksi tutkijat usein halajavat kauneutta. Matemaatikko Herman Weyl (1885-1955) on sanonut: ”Työssäni olen yrittänyt yhdistää totuuden kauneuteen, mutta jos olen joutunut valitsemaan, yleensä olen valinnut kauneuden”. Kauneus on vielä hankalampi määritellä kuin yksinkertaisuus. Toiset puhuvat mieluummin eleganssista, mutta se ei ole sen helpompi käsite. Kolmannet etsivät symmetriaa ja harmoniaa. Ei ole kuitenkaan mitään todisteita, että universumi noudattaisi estetiikkaa, joka kiehtoo ihmissilmää.

Yhä useammalla tieteenalalla, luonnontieteiden ulkopuolellakin, halutaan soveltaa matemaattisia työkaluja. Jos matematiikka toimii, teorian täytyy olla tosi. Äärimmäinen esimerkki on säieteoria. Sen mukaan universumi koostuu pienen pienistä värähtelevistä säikeistä. Se on myös kaiken teoria, sillä sen matematiikka selittää sekä kvanttimekaniikan että suhteellisuusteorian. On vain yksi ongelma: siitä ei ole mitään empiirisiä todisteita. Tämä ei tietenkään todista, että teoria on väärä. Se voi olla totta tai sitten puhdasta mielikuvitusta. Saattaa olla, ettei universumi ole yksinkertainen, kaunis ja matemaattinen. Se voi yhtä hyvin olla monimutkainen, ruma ja ei-matemaattinen.

Karl Popper (1902-1994) tutki tieteellistä metodia ja yhtyi induktion kritiikkiin. Teoriaa ei voi koskaan osoittaa oikeaksi. Päinvastainen sen sijaan on helppoa. Teoria voidaan osoittaa vääräksi. Falsifioitavuus on tieteellisen metodin tärkeä ominaisuus. Popperiin teki suuren vaikutuksen se, että suhteellisuusteoria omaksuttiin niin nopeasti. Satoja vuosia vanha Newtonin teoria hylättiin nopeasti, kun se ei enää ollutkaan tarkin saatavilla oleva malli todellisuudesta. Sen sijaan marxismissa ja psykoanalyysissa, joita Popper käytti esimerkkeinä näennäistieteestä, kaikki poikkeamat teorioiden ennusteissa pyrittiin aina selittämään parhain päin luopumatta teoriasta tai edes muokkaamatta sitä.

Falsifioitavuus on hyväksytty tieteellisen teorian kriteeriksi. Käytännössä tutkijat kuitenkin pitävät teoriaa oikeana, kun sille on riittävästi todisteita. He eivät suinkaan pyri osoittamaan omia teorioitaan vääriksi, jotta voisivat kehittää uuden, paremman teorian. Toisinaan on myös vaikea tietää, kannattaako uusi teoria hylätä vain siksi, että todisteet eivät sitä täysin tue. Kopernikuksen aurinkokeskeinen maailmankuva olisi voitu hylätä sillä perusteella, että episyklit sopivat vielä sillä hetkellä todisteisiin paremmin kuin ympyränmuotoiset kiertoradat.

Vuonna 1962 Thomas S. Kuhn (1922–1996) julkaisi kirjan ”The Structure of Scientific Revolution”, joka mullisti ihmisten käsityksen tieteen etenemisestä. Sen mukaan tiede tavallisesti edistyy hyväksytyn oppirakennelman, paradigman, puitteissa. Tutkijat koulutetaan siihen ja he sisäistävät sen mukaisen ajattelutavan. Ajan myötä tehdään enenevässä määrin havaintoja, joita on vaikea mahduttaa oppiin. Siihen kuitenkin pyritään venyttämällä oppirakennelmaa kattamaan myös poikkeamat. Tämä jatkuu, kunnes tilanne kriisiytyy. Tarvitaan vallankumous, paradigman muutos. Aluksi muutoksen pioneereja vieroksutaan. He puhuvat eri kieltä ja ovat omaksuneet erilaisen maailmankuvan. Uusi paradigma tuntuu oudolta ja jopa järjettömältä. Se kuitenkin selittää enemmän eikä siinä ole niin paljon poikkeamia. Vähitellen se hyväksytään ja siitä tulee uutta valtavirtaa.

Paradigman muutoksista on paljon esimerkkejä. Maakeskeisen maailmankuvan vaihtuminen aurinkokeskeiseksi oli yksi. Se vei satoja vuosia. Newtonin maailmankuvan korvautuminen Einsteinin suhteellisuusteorialla oli toinen, siirtyminen klassisesta mekaniikasta kvanttimekaniikkaan kolmas. Louis Pasteurin (1822-1895) teoria bakteereista on esimerkki biologian puolelta.

Kuhn katsoi, että paradigmat eivät ole oikeita tai vääriä. Ennemminkin kullakin on oma aikansa. Tiede ei etsi totuutta, vaan toimii aikakauden sosiaalisessa rakenteessa. Tätä ajattelua vietiin sitten vielä pitemmälle postmodernismissa, jossa tieteellinen totuus kyseenalaistettiin, ja kaikki tieteenalat ja villitkin teoriat pyrittiin nostamaan – tai ehkä mieluummin laskemaan – samalle tasolle. Kuitenkin tieteellisen teorian tulisi aina sopia havaintoihin. Se ei voi olla mielivaltainen tarina, metanarratiivi, jonka joku on sattunut keksimään.

Viimeisten vuosisatojen aikana on useamminkin noussut esiin ajatus siitä, että tieteen loppu on näköpiirissä. Universumin salaisuudet alkaa olla paljastettu. Jäljellä on vain projektin viimeistely, loppuraportin teko ja dokumenttien arkistointi. Tietenkin monissa kysymyksissä on päästy hämmästyttävän pitkälle. Toisaalta voisi olettaa, että jos loppu on lähellä, niin jotkut tieteenalat olisivat jo päässeet sinne asti. Immanuel Kantin näkemyksen mukaan: ”Jokainen kokemukseen perustuva vastaus synnyttää uuden kysymyksen, joka sekin vaatii vastauksensa ja siten selvästi osoittaa selitysten kyvyttömyyden tyydyttää järkeä”. Toisin sanoen tieteellisten kysymysten määrä ei suppene. Tiede on tässä mielessä itseään ruokkiva järjestelmä.

Tiede ja matematiikka

Yksi tieteen mysteereistä on matematiikan käsittämättömän hyvä soveltuvuus ilmiöiden selittämiseen. Fysiikka on elänyt symbioosissa matematiikan kanssa jo pitkään, mutta muutkin tieteenalat ovat omaksuneet matematiikan työkalukseen. Alasta melkein riippumatta opiskelijat joutuvat opiskelemaan joitain matematiikan haaroja. Matematiikan sopivuudesta fyysisen maailman ymmärtämiseen on monia esimerkkejä:

• 1700-luvun loppupuolella löydettiin uusi planeetta, jolle annettiin nimeksi Uranus. Sen radasssa havaittiin selittämättömiä epäsäännöllisyyksiä. Ranskalainen matemaatikko Urbain Leverrier (1811–1877) arveli, että syynä saattoi olla toinen planeetta, joka vaikutti Uranuksen rataan. Hän laski Newtonin lakien avulla planeetan sijainnin ja pyysi saksalaista tähtitieteilijää Johann Gallea (1812–1910) tarkistamaan asian. Tämä vastasi kirjeessä: ”Planeetta, jonka paikan laskit, todella on olemassa”. Se löytyi Leverrierin ennustamasta paikasta ja sai nimekseen Neptunus.
• Vuonna 1928 Paul Dirac (1902–1984) sutaisi paperille yhtälön kuvaamaan elektronin ominaisuuksia. Yksi niistä oli negatiivinen varaus. Yhtälölle oli muitakin ratkaisuja, joita Dirac päätti myös tarkastella. Hän päätyi esittämään, että saattaa olla toinenkin hiukkanen, jolla on samat ominaisuudet kuin elektronilla, mutta jonka varaus on positiivinen. Vuonna 1932 Carl Anderson (1905–1991) osoitti kokeellisesti, että hiukkanen oli olemassa. Se sai nimekseen positroni.
• Apollonius (noin 262–190 eaa.) tutki antiikin Kreikassa kartion leikkauksia. Jos leikkaus tehdään vaakasuoraan, saadaan ympyränmuotoinen taso. Vino leikkaus taas tuottaa ellipsin. Kartiosta saadaan myös paraabeli ja hyperbeli sopivilla leikkauksilla. Apollonius kirjoitti kirjan, jossa oli noin 400 teoreemaa kartioleikkauksista. 1800 vuotta myöhemmin Johannes Kepler yritti sovittaa Kopernikuksen aurinkokeskeistä maailmankuvaa havaintoihin. Ne eivät sopineet. Kopernikus oli tehnyt virheen olettaessaan kiertoratojen olevan ympyrän muotoisia. Ne olivatkin ellipsejä. Kepler opiskeli ellipsin ominaisuudet Apolloniuksen teksteistä.
• Antiikin kreikkalaisten kehittämä geometria sai pysyvimmän muodon Eukleideen (323–283 eaa.) teoksessa ”Alkeet” (kreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa). Siinä esitellään viisi aksioomaa, joiden varaan geometria rakentuu. Neljää ensimmäistä on pidetty yksinkertaisina ja helposti ilmaistavina, mutta viides, paralleeliaksiooma, on kömpelömpi:
  
  ”annetun suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee aina yksi ja vain yksi annetun suoran kanssa yhdensuuntainen suora, toisin sanoen sellainen suora, joka kuuluu samaan tasoon mutta ei leikkaa annettua suoraa.”
  
  Eukleides epäili viidettä aksioomaansa ja vältti sen käyttöä parhaansa mukaan. Myöhemmät matemaatikot arvelivat, että vaikka aksiooma oli totta, se oli ennemminkin seurausta neljästä muusta aksioomasta kuin välttämätön itsessään. 2000 vuoden ajan yritettiin todistaa, ettei viidettä aksioomaa tarvita. Onnistumatta. Lopulta havaittiin, että on olemassa kaksi geometriaa: euklidinen, jossa viides aksiooma tarvitaan, ja epäeuklidinen, jossa viidettä aksioomaa ei tarvita. Vuosia myöhemmin Einstein yritti löytää tavan ilmaista yleisen suhteellisuusteorian avaruuden kaareutumista. Hän jäi jumiin. Oikeaa tapaa ei tuntunut löytyvän. Sitten Marcel Grossmann (1878–1936) ehdotti tutustumista epäeuklidiseen geometriaan. Siitä Einstein löysi, mitä oli etsinyt.

• Kuten koulussa opetetaan, kaikille polynomiyhtälöille ei ole ratkaisua. Yksinkertaisin näistä polynomeista on
  
  x² +1 = 0.
  
  1500-luvulla Gerolamo Cardano (1501–1576) ajatteli, että voisihan vastauksen kuvitella. Määritellään imaginaariluku i ja annetaan sen olla yhtälön ratkaisu:
  
  x = √-1 = i
  
  Kun reaaliluvut yhdistetään imaginaarilukuihin, saadaan kompleksiluvut, kuten a + bi, jossa a ja b ovat reaalilukuja. Tämä jäi vain matemaattiseksi leikittelyksi, kunnes fyysikot törmäsivät kvanttimaailman outouksiin. Superposition kuvaamiseen tarvittiin kompleksilukuja.

• William Rowan Hamilton (1805–1865) ymmärsi, että kompleksiluvut laajensivat reaaliluvut kaksiulotteisiksi. Hän ajatteli, että niillähän voisi ilmaista myös useampia ulottuvuuksia. Niinpä hän kehitti kvaterniot, jotka ovat kompleksilukujen nelikomponenttinen laajennus, kuten a + bi +cj +dk, jossa a, b, c ja d ovat reaalilukuja. Niille pätevät seuraavat säännöt:
  
  i² = j² = k² = ijk = -1.
  
  Hän huomasi näillä luvuilla erikoisen piirteen: ne eivät ole vaihdannaisia samaan tapaan kuin reaaliluvut:
  
  xy ≠ yx.
  
  Kvaterniotkin olisivat jääneet matemaatikkojen leikkikaluiksi, ellei Heisenberg olisi havainnut niitä hyödyllisiksi kehittäessään epätarkkuusperiaatetta.

• 1800-luvun puolivälissä matemaatikot huomasivat, että polynomien ratkeavuutta oli helpompi tarkastella ryhmäteorian avulla. Siitä tuli myöhemmin tärkeä työkalu alkeishiukkasten toiminnan kuvaamisessa.

Tieteen ja matematiikan yhteensopivuuden mysteeriin on tarjottu useita vastauksia. Yksi vanhimmista on jumala. Hän loi universumin ja kirjoitti sen lait matematiikan kielellä. Ihminen luotiin ymmärtämään matematiikkaa. Tiede seuraa matematiikkaa, koska ne molemmat ovat lähtöisin jumalasta. Tieteelliseksi selitykseksi tämä ei kelpaa, koska jumala ja uskonto katsotaan tieteen ja tiedon ulkopuolisiksi asioiksi.

Platonin ideamaailma on toinen mahdollinen selitys. Sen mukaan fyysinen maailma on pelkkä varjo todellisesta maailmasta, ideamaailmasta, jonka sanotaan sijaitsevan ”Platonin ullakolla”. Sieltä löytyvät kaikki luonnonlait, kunhan vain jaksaa penkoa. Platonisteille matemaattiset totuudet eivät ole ihmisten keksintöjä (invention), mutta ihmiset voivat kyllä paljastaa niitä (discovery). Platonin ullakosta ei tosin ole todisteita. Ei ole tiedossa, millä mekanismilla se vaikuttaisi fyysiseen todellisuuteen. Tarvitaanko tieteen ja matematiikan maailman välisen mysteerin selittämiseen kolmas maailma?

Kolmas selitysvaihtoehto on se, että oikeastaan mitään mysteeriä ei olekaan. Suurinta osaa maailman ilmiöistä ei voi selittää matematiikalla – ei edes fysiikassa. Millaisia pilvet ovat huomenna? Mitkä ovat seuraavan arvonnan oikeat lottonumerot? Kuka voittaa seuraavat presidentinvaalit? Monet tieteenalat, kuten sosiologia, psykologia ja antropologia eivät sovella matematiikkaa kovinkaan paljon. Sanotaankin, että jumala antoi helpot ongelmat fyysikoille. Toisaalta voisi väittää, että sosiologia riippuu psykologiasta, joka riippuu neurologiasta, joka riippuu neurokemiasta ja tietojenkäsittelystä, jotka riippuvat matematiikasta. On siis mahdollista, että matematiikka ei vielä ole riittävän kehittynyttä kaikkiin tieteisiin.

Neljäs selitys on, että syy-seuraussuhde on ymmärretty väärin. Matematiikka ei ”mystisesti” selitä fyysistä maailmaa, vaan matematiikka on kehitetty fyysisestä maailmasta. Ajatellaanpa 7 laatikkoa, joissa kussakin on 8 punaista ja 3 sinistä marmorikuulaa. Voimme nyt laskea yhteismäärän

7 x (8 + 3) = 7 x 8 + 7 x 3

Olemme nyt abstrahoineet punaiset ja siniset värit pois ja käsittelemme enää kuulia. Yllä oleva kaava voidaan abstrahoida edelleen, koska se voisi kuvata vaikka kissoja ja koiria, ja määrätkin voisivat vaihdella:

a x (b + c) = a x b + a x c.

Nämä kaavat kuvaavat fyysistä maailmaa eivätkä siis ole mielivaltaisia. Sen sijaan emme voi kirjoittaa

a + (b x c) = (a + b) x (a + c),

vaikka se vaikuttaa samanlaiselta kuin aiempi kaava. Tämä johtuu siitä, että se ei ole totta fyysisessä maailmassa. Matematiikka siis abstrahoi fyysistä maailmaa, joten ei ole ihme, jos se soveltuu sen kuvaamiseen. Tämä ei voi kuitenkaan olla koko selitys, koska kaikille matematiikan osa-alueille ei ole fyysistä vastinetta. Ei ole negatiivisia lukuja. Kuitenkin Dirac oivalsi positronin mahdollisuuden yhtälönsä negatiivisesta ratkaisusta. Ei ole äärettömiä joukkoja. Silti äärettömyyden ideaa sovelletaan fysiikan ja insinööritieteiden oppikirjoissa.

Järjen alkuperä

Universumi vaikuttaa hienosäädetyltä ihmistä varten. Fysiikan lait ovat juuri sopivat, jotta monimutkaisia olentoja, kuten ihminen, voisi kehittyä. Jos lait olisivat hieman erilaisia, ihmisiä ei olisi.

• Jos gravitaatio olisi hieman vahvempi, tähdet romahtaisivat mustiksi aukoiksi ennen kuin muodostuisi raskaita alkuaineita, joita elämä tarvitsee.
• Jos gravitaatio olisi hieman heikompi, tähtiä ei syntyisi, eikä siis raskaita alkuaineita, joita elämä tarvitsee.
• Jos maa olisi lähempänä aurinkoa, kaikki vesi olisi vesihöyryä eikä elämä olisi mahdollista.
• Jos maa olisi kauempana auringosta, kaikki vesi olisi jäätä eikä elämä olisi mahdollista.
• Jos ihmisen keskimääräinen älykkyysosamäärä olisi 10 pistettä alempi, olisiko meillä kykyä esittää näitä kysymyksiä?

Listaa voisi jatkaa. Luonnonlakeja ja –vakioita ei juuri voisi muuttaa poistamatta samalla ihmiskuntaa universumista. Tähän liittyvät kysymykset voi jakaa kolmeen luokkaan:

1. Kysymys 1. Miksi universumissa on rakenne? Tai vielä periaatteellisemmin: miksi on jotain sen sijaan, ettei olisi mitään?
2. Kysymys 2. Miksi universumin rakenne on sopiva elämälle? Jos on olemassa jotain, miksi se olisi hienosäädetty niin, että elämä on mahdollista? On paljon helpompi kuvitella universumi, jossa vallitsee kaaos, kuin universumi, johon kehittyy monimutkaisia elämänmuotoja.
3. Kysymys 3. Miksi universumi on sopiva elämänmuodolle, joka voi ymmärtää universumin rakenteen? Tässä on kyse antrooppisesta periaatteesta: jotta kaikkeuden ominaisuuksia voitaisiin havaita, niiden tulee olla sellaisia, että havaitsijoita voi olla olemassa. Ilman riittävää rakennetta, ei olisi ketään esittämässä näitä kysymyksiä.

Näihin kysymyksiin on useita mahdollisia vastauksia. Ensimmäinen on jälleen jumala. Uskovaisille mitään mysteeriä ei ole: jumala loi universumin juuri sellaiseksi kuin se on. Kuten psalmien kirjassa (Ps. 19:2) sanotaan: ” Taivaat julistavat Jumalan kunniaa, taivaankansi kertoo hänen teoistaan.”

Toinen vaihtoehto on hyvä onni. Meillä vain kävi hyvä tuuri, että universumista sattui tulemaan sellainen, että voimme ihmetellä näitä kysymyksiä. Ei ole mitään syytä. David Hume kirjoitti: ”Ihmisen elämällä ei ole suurempaa merkitystä kuin osterin.”

What peculiar privilege has this little agitation of the brain which we call thought, that we must thus make it the model of the whole universe?

David Hume

Kolmas vaihtoehto on, että kysymys on väärin asetettu. Universumi on ihmiselle hyvin vihamielinen paikka. Emme pysyisi hengissä hetkeäkään tämän planeetan ulkopuolella ilman äärimmäisiä turvatoimia. Maapallokin on enimmäkseen merta. Kuivalla maalla monet paikat ovat liian korkealla, liian kuumia tai liian kylmiä ihmiselle. Muualla on tsunameja, tulivuoria, maanjäristyksiä, pyörremyrskyjä, mutavyöryjä, petoja, myrkkysieniä, patogeenejä ja juristeja, jotka tekevät ihmiselosta epävarmaa. Tämä vastaus ei tietenkään vastaa ensimmäiseen kysymykseen.

Neljäs vaihtoehto on, että nykyinen universumin rakenne tuottaa yhdenlaista elämää, toisenlainen voisi tuottaa toisenlaista. Tämäkään selitys ei vastaa ensimmäiseen kysymykseen.

Viides vaihtoehto on multiversumi. Ei ole vain yhtä universumia vaan lukemattomia. Niissä kaikissa on omat luonnonlakinsa ja –vakionsa. Suurin osa niistä ei tuota älyllistä elämää. Oma universumimme vain sattui tuottamaan ja siksi olemme täällä ihmettelemässä näitä kysymyksiä. Multiversumiselityksiä on monenlaisia. Yksi omaperäisimmistä on John Wheelerin (1911-2008) ajatus siitä, että ehkä universumi pysyi superpositiossa, jossa kaikki mahdolliset vaihtoehdot olivat yhtä aikaa olemassa, kunnes tietoinen mieli teki havainnon ja romahdutti universumin vaihtoehtoon, jossa tuo tietoinen mieli oli olemassa. Tätä kutsutaan osallistuvaksi antrooppiseksi periaatteeksi. Ihminen, Adam tai joku muu tietoinen olento, romahdutti universumin sellaiseksi kuin se on. Universumin menneisyys määrittyi ensimmäisen tietoisen mielen mukaan. Vaihtoehtoiset historiat katosivat ja jäljelle jäi se, joka toteutti tuon tietoisen mielen. Jos näin on, niin tietoisuus täytyy sisällyttää fysiikan kaavoihin.

Kuudes vaihtoehto on symmetria. Einstein ja häntä ennen jo Galileo etsivät luonnonlakeja sieltä, missä ne olivat muuttumattomia. Galileo havaitsi, että vakionopeudella liikuttaessa fysiikan lait pysyvät samoina ja Einstein laajensi tämän koskemaan kiihtyvyyttä ja nopeuksia lähellä valonnopeutta. Tällaista ominaisuutta kutsutaan symmetriaksi. Einstein meni niin pitkälle, että hän oletti symmetrioiden olemassaolon ja määritteli lait niin, että ne toteuttavat nuo symmetriat. Esimerkkinä symmetriasta voi mainita hyrrän, jonka voi asettaa sileälle tasolle pyörimään. Sen liike ei ole riippuvainen ilmansuunnasta tason suunnassa.

Emmy Noether (1882–1935) havaitsi, että säilymisen laeista, kuten liikemäärä, pyörimismäärä ja energia, jokainen vastaa jotain järjestelmän symmetriaa, kuten paikkaa, suuntaa ja aikaa. Itse asiassa hän todisti jotain vielä yleisempää: jokaista säilymisen lakia vastaa symmetria ja jokaista symmetriaa säilymisen laki. Hänen jalanjäljissään fysiikassa alettiin keskittyä yhä enemmän symmetriaan. Esimerkiksi kvanttimekaniikkaa kuvataan ryhmäteorialla, joka on symmetrian matemaattinen kieli.

Mielenkiintoisen universumista tekee kuitenkin symmetrian rikkoutuminen. Kun kitka on kuluttanut hyrrän pyörimisenergiaa tarpeeksi, sen symmetria rikkoutuu: se alkaa huojua ja lopulta kellahtaa kyljelleen. Vesihöyryn molekyylit törmäilevät symmetrisesti kaikkiin suuntiin. Kun lämpötila pilvessä laskee riittävästi, vesihöyrystä muodostuu kiderakenteita, lumihiutaleita. Tässä tapauksessa symmetria ei rikkoudu täysin, vaan jäljelle jää diskreetti symmetria, joka ilmenee lumihiutaleen kuusisakaraisena muotona. Alkuräjähdyksen kuumuudessa kaikki oli todennäköisesti täysin symmetristä. Kun universumi laajeni, se viileni ja energiatiheys laski. Matkan varrella jotkin symmetriat rikkoutuivat. Ainetta esimerkiksi jäi jäljelle paljon enemmän kuin antiainetta. Siksi voi olla olemassa aineellisia olentoja, kuten ihmisiä. Emme kuitenkaan tiedä miksi jotkut symmetriat säilyivät ja jotkut rikkoutuivat.

Symmetria on sittenkin vain yksi tapa katsoa maailmaa eikä välttämättä kerro kaikkea siitä millainen universumi on ja miksi. Immanuel Kantin (1724-1804) mukaan katsomme maailmaa värillisten silmälasien läpi. Meillä on sisäänrakennetut mekanismit sille, miten ymmärrämme ja luokittelemme ilmiöitä. Siksi universumi näyttää siltä kuin näyttää. Emme pysty näkemään sitä itsessään, ”an sich”. Arthur Eddington (1882-1944) kysyi: ”Kuka tarkkailee tarkkailijoita?”. Hän vertasi tiedettä kalatutkijaan, joka käyttää vain viiden sentin verkkoa merenelävien pyydystämiseen. Hän luulee, että verkkoon päätyy kaikki tietämisen arvoinen eikä ole kiinnostunut muusta. Tieteen verkko voi olla samalla tavalla rajoittunut. Voi pohdiskella, miten tieteellistä menetelmää pitäisi kehittää, jotta näkisimme enemmän universumista. Universumi toimii, kuten toimii. Ihmiset tutkivat sitä työkaluilla, joita heillä on käytössään.

Seitsemäs vaihtoehto on yksinkertainen: emme tiedä – ainakaan vielä. Jokin yllä olevista voi osoittautua oikeaksi vastaukseksi tai sitten joku muu. Ehkä emme koskaan saa tietää.

MATEMATIIKAN RAJAT

Antiikin Kreikassa pythagoralaiset uskoivat, että kaikki maailmassa oli matemaattista. Pythagoralaisille oli suuri järkytys, kun Hippasus onnistui todistamaan, että yksikkösivuisen neliön lävistäjä (√2) ei ole rationaaliluku. Koska muita lukujoukkoja ei tuohon aikaan tunnettu, tämä tarkoitti, että maailmassa kaikki ei olekaan matemaattista. Tarinan mukaan pythagoralaiset halusivat hiljentää Hippasuksen ja hukuttivat hänet. Tarinan totuudellisuudesta ei ole varmuutta, mutta sen verran mielenkiintoinen meemi se on, että on säilynyt jo yli 2500 vuotta.

Kreikkalaisilla oli muitakin vastaavia ongelmia. Heille matematiikka oli geometriaa, jossa käytettiin harppia ja viivainta. Niiden avulla ei voinut neliöidä ympyrää, jakaa kulmaa kolmeen yhtä suureen osaan eikä kaksinkertaistaa kuution tilavuutta.

Vaikka kreikkalaisten kohtaamat matemaattiset rajoitukset eivät olleet lopullisia, vieläkin tunnetaan matemaattisia ”mahdottomuuksia”. Toisen asteen polynomiyhtälölle on kaksi ratkaisua, joiden kaava opetetaan koulussa. Kolmannen asteen yhtälölle on kolme ratkaisua, mutta ratkaisukaava on verraten monimutkainen. Neljännen asteen yhtälökin on vielä ratkeava, mutta viidennen asteen yhtälölle

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f = 0

ei enää löydy ratkaisua kaikilla kertoimilla. Évariste Galois (1811-1832) tutki polynomien ratkeavuutta ryhmien avulla. Ne mallintavat symmetriaa, jota järjestelmä ei voi rikkoa. Siinä mielessä symmetria on järjestelmän matemaattinen rajoitus.

Galois’n teorian avulla voi todistaa antiikin kreikkalaisiakin kiinnostavia asioita, kuten mitkä säännölliset monikulmiot voi piirtää harpilla ja viivaimella. Se onnistuu, jos sivujen lukumäärä on esimerkiksi 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, …, 257, … tai 65,537, mutta ei onnistu jos sivuja on 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23 tai 25.

Erimuotoisia laattoja voi käyttää lattian tai seinän laatoituksessa. Neliöt, suorakaiteet, kuusikulmiot ja jotkut villimmätkin muodot täyttävät koko pinnan ilman välejä, mutta esimerkiksi ympyrät ja viisikulmiot eivät. Sopivia muotoja voisi varmaan hakea tietokoneella? Kyseessä on laatoitusongelma (tiling problem). Valitettavasti ongelma ei ole ratkeava. Se on vaikeampi kuin pysähtymisongelma.

Diofantoksen yhtälö on kokonaislukukertoiminen vähintään kahden muuttujan polynomiyhtälö, jolle etsitään kokonaislukuratkaisuja. Esimerkiksi yhtälölle

x² + y³ = 134

on ratkaisu: x = 3 ja y = 5. Ei kuitenkaan ole mahdollista tehdä tietokoneohjelmaa, joka ratkaisee yleisen yhtälön.

Kun jokin yhtälö on todistettu ratkeamattomaksi, on helppo löytää lisää vastaavia yhtälöitä. Täytyy vain osoittaa, että yhtälö voidaan palauttaa samaan muotoon ratkeamattoman kanssa. Ryhmäteorian mukaan nykyisessä matematiikassa ja fysiikassa on paljon ratkeamattomia ongelmia. Fysiikan yksi vahvuus on, että sen avulla voi ennustaa järjestelmien käyttäytymistä. Jos ongelma on ratkeamaton, on mahdotonta tehdä ennusteita. On kuitenkin mahdollista, että kehitetään ryhmäteoriaa parempia menetelmiä, joilla päästään eteenpäin.

Logiikka on järjen kieli, mutta sillä on rajoituksensa. Gödel tutki loogisten järjestelmien konsistenssia (ristiriidattomuutta) ja todistettavuutta. Hänen ensimmäisen epätäydellisyyslauseensa mukaan konsistentissa loogisessa järjestelmässä, jossa voi suorittaa riittävän vaativia aritmeettisia operaatioita, on aina väittämiä, joita ei voi todistaa sen omilla aksioomilla. Jo yhteenlasku ja kertominen ovat tällaisia operaatioita. Toisin sanoen, jos loogisessa järjestelmässä voi laskea yhteen ja kertoa, se on aina epätäydellinen. On aina väittämiä, joita ei voi todistaa oikeaksi tai vääräksi. Gödelin todistus pohjautuu valehtelijan paradoksiin. Se ei kuitenkaan ole ainoa ratkeamaton väittämä, vaan valitettavasti on myös ”todellisia” matemaattisia ratkeamattomia väittämiä.

Godelin toinen epätäydellisyyslause antaa esimerkin väittämästä, jota ei voi todistaa. Ja tuo esimerkki on melkoinen: loogisen järjestelmän konsistenssia ei voi todistaa. Ei siis voida todistaa, että matematiikassa ei ole ristiriitoja. On huomattava, että epätäydellisyyslauseet koskevat todistamista järjestelmän omilla aksioomilla. On kyllä mahdollista löytää järjestelmän ulkopuolisia aksioomia, joilla väittämiä voi todistaa. Siitä kuitenkin vääjäämättä seuraa uusia ratkeamattomia väittämiä – käy kuten kreikkalaisen mytologian yhdeksänpäiselle hirviölle Hydralle, jolle kasvoi aina kaksi päätä katkaistun tilalle.

Gödelin epätäydellisyyslauseista seuraa, että joko (a) ratkeamattomia ongelmia on tai (b) ihmismieli on vahvempi kuin mikään looginen järjestelmä. Jos ihmismieli on vain monimutkainen tietokone, niin (a) on voimassa emmekä voi sille mitään.